Definição 2: Outra definição de erosão está relacionada com a substração de Minkowski para dois conjuntos. Essa operação de substração entre dois conjuntos X e B, e propriamente a erosão de X por B, é definida como segue:

onde os operadores e são os operadores lógicos de quantificação universal (para todos) e existencial (existe), respectivamente.

Outra forma de escrever a equação anterior, e usada formalmente para definir a rerosão binária da imagem X pelo elemento estruturante B é a seguinte:

onde representa o elemento estruturante obtido por simetria central de B pela origem, do sistema de referência, e é chamado de B transposto. Nesta definição, podemos constatar que o conjunto (imagem) a ser erodido X é deslocado em função das posições permitidas pelo elemento estruturante B, ao invés da definição 1, onde o elemento estruturante é deslocado pela imagem. Os deslocamentos são realizados em relação ao ponto central de B.

Efeitos da erosão:
1) diminuir as partículas;
2) elimina grãos de tamanho inferior ao tmanho do elemento estruturante;
3) aumenta os buracos;
4) permite a separação de grãos próximos;

Exemplo 1: A erosão de um quadrado Q de lado 10 formado pelos pixels Q=(7:16;7:16) numa imagem X de dimensão 22x22 (Figura 2a), por um disco de raio 2 que representa o elemento estruturante B formado pelos elemenntos B = {((-1,-1);(-1,0);(-1,1);(0,-1);(0,0);(0,1);(1,-1);(1,0);(1,1),(-2;0),(2;0),(0;-2),(0;2)} (Figura 2b) centrado na origem, é um quadrado de lado 6 centrado na origem e formado pelos elementos Q^'=(9:14;9:14) como mostrado na Figura 2c.

a)

b)

c)

Figura 2. Erosão binária com elemento estruturante circular de raio 2.

Exemplo 2: A erosão de um quadrado Q de lado 5 formado pelos pixels Q=(5:9,5:9) numa imagem X de dimensão 13x13 (Figura 3a), por um retângulo 5x1 que representa o elemento estruturante B de dimensão 5x5 formado pelos elemenntos B = {(-2;0),(-1;0),(0;0),(1;0),(2;0)} (Figura 3b), é um retângulo 1x5, formado pelos elementos Q^'=(9:14;9:14) como mostrado na Figura 3c.

a)

b)

c)

Figura 3. Erosão binária com elemento estruturante vertical de 5x1.

Exemplo 3: Limpeza de uma imagem ruidosa. Erosão do conjunto branco.

a)

b)

c)

Figura 4. Erosão binária para eliminação de ruido tipo "sal".

Efeitos da dilatação:
1) aumenta as partículas;
2) preenche buracos negros;
3) conecta grãoss próximos;

Exemplo 4: A dilatação de um quadrado Q de lado 10 formado pelos pixels Q=(7:16;7:16) numa imagem X de dimensão 22x22 (Figura 4a), por um disco de raio 2 que representa o elemento estruturante B formado pelos elemenntos B = {((-1,-1);(-1,0);(-1,1);(0,-1);(0,0);(0,1);(1,-1);(1,0);(1,1),(-2;0),(2;0),(0;-2),(0;2)} (Figura 5b) centrado na origem, é um quase-quadrado de lado 14 centrado na origem e formado pelos elementos Q^'=(5:17;5:17) como mostrado na Figura 5c.

a)

b)

c)

Figura 5. Dilatação com elemento estruturante circular de raio 2.

Exemplo 5: A erosão de um quadrado Q de lado 5 formado pelos pixels Q=(5:9,5:9) numa imagem X de dimensão 13x13 (Figura 5a), por um retângulo 5x1 que representa o elemento estruturante B de dimensão 5x5 formado pelos elemenntos B = {(-2;0),(-1;0),(0;0),(1;0),(2;0)} (Figura 3b), é um retângulo 9x5, formado pelos elementos Q^'=(9:14;9:14) como mostrado na Figura 5c.

a)

b)

c)

Figura 6. Dilatação binária com elemento estruturante vertical de 5x1.

Exemplo 6: Limpeza de uma imagem ruidosa. Preenchimento de buracos pretos.

a)

b)

c)

Figura 7. Dilatação binária para eliminação de ruido tipo "pimenta".

Exemplo 7: A imagem da Figura 8a, com fundo na cor branca, contém objetos pretos de 1x1, 2x2 e 4x4 pixels na cor preta. Ao aplicar uma abertura sobre essa imagem com um elemento estruturante de 1x1 sumiram os objetos de tamanho 1x1, e foi obtida a imagem da Figura 8b. A essa imagem da Figura 8b aplicou-se também uma abertura com elemento estruturante de 2x2 para eliminar os objetos de 2x2, obtendo como resultado uma imagem da Figura 8c formada somente por objetos de tamanho 4x4.

a)

b)

c)

Figura 8. Aplicação de duas abertura consecutivas com elementos estruturantes
de 1x1 e 2x2 pixels, respectivamente.

Exemplo 8: A imagem da Figura 9a, com fundo na cor preta, contém cículos com conexões entre eles. Ao aplicar um fechamento sobre essa imagem com um elemento estruturante circular de radio 10. Como pode ser visto, as conexões entre os objetos circulares aumentaram.

a)

b)

Figura 9. Resultado de fechamento com elemento estruturante circular de radio 10 pixels.

Exemplo 9: Contagem de pontos isolados.
Sejam os elementos estruturantes J = {(0,0)} e K = {(-1;0);(0;-1);(0;0);(0;1);(1;0)}, como mostrados na Figura 10a e Figura 10b, respectivamente. O resultado da aplicação da transfomada hit-or-miss permite fazer detecção e contagem dos pontos isolados existentes na imagem X.

a)

b)

Figura 10. Resultado de fechamento com elemento estruturante circular de radio 10 pixels.

Exemplo 10: Passo a passo para detecção de esquina superior-direita de objetos.
Sejam os elementos estruturantes J = {(0;1),(0;0),(1;0)} e K = {(-1;0),(-1;1),(0;1)} como mostrados nas imagens da Figura 11a e Figura 11b, respectivamente, e cada um com centro no ponto na cor laranja, onde J inclui o centro e K não. Na Figura 11c os pixels do objeto da imagem X representados na cor branca. Na Figura 11d o complemento da imagem X. Na Figura 11e o resultado da erosão da imagem X pelo elemento estruturante J e na Figura 11f o resultado da erosão de X ^c pelo elemento estruturante K.

a) J

b) K

c) X

d) X^c

e) X J

f) X ^c K

g)

Figura 11. Hit-or-miss para detectar as esquinas superior-direita.

Exemplo 11: Detecção de quadrados 2x2 na imagem X formada por quadrados de tamanho 2x2 e de 4x4.
Sejam os elementos estruturantes J = {(-1;0),(-1;1);(0,0),(0;1)} e K = {(-2;-1);(-2;0);(-2;1);(-2;2);(-1;-1),(-1;2),(0;-1),(0;2),(1;-1);(1;0);(1;1);(1;2)}, como mostrados na Figura 12a e Figura 12b, respectivamente. Ambos os dois elementos estruturantes tem centro no ponto na cor laranja, mas só o elemento estruturnte J o inclui. O resultado da aplicação da transfomada hit-or-miss sobre a imagem X da Figura 12c permite detectar esses quadrados de 2x2, como mostrado na figura 12d.

a)

b)

c)

d)

Figura 12. Detecção de quadrados de dimensão 2x2.